Question

18．已知数列{a_n}中满足a₁=1，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N₊）．
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用“累加求和”方法、等比数列的求和公式即可得出．
（2）利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N₊），
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=2^n-1+2^n-2+…+2+1=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
（2）数列{a_n}的前n项和S_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n
=2×$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n
=2ⁿ⁺¹-2-n．

点评 本题考查了“累加求和”方法、等比数列的求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．