题目内容
9．已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合，x轴非负半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}}$，（φ为参数）．（1）在极坐标系下，若曲线C与射线θ=$\frac{π}{4}$和射线θ=-$\frac{π}{4}$分别交于A，B两点，求△AOB的面积；
（2）给出直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ=2，求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标．
分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}}$，（φ为参数），利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程．将其化为极坐标方程为$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$，分别代入$θ=\frac{π}{4}$和$θ=-\frac{π}{4}$，可得|OA|，|OB|，$∠AOB=\frac{π}{2}$，利用直角三角形面积计算公式可得△AOB的面积．
（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程得x-y-2=0，与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标．
解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}}$，（φ为参数），
利用平方关系可得：曲线 C在直角坐标系下的普通方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
将其化为极坐标方程为$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{4}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$，
分别代入$θ=\frac{π}{4}$和$θ=-\frac{π}{4}$，得${|{OA}|^2}={|{OB}|^2}=\frac{8}{5}$，
∵$∠AOB=\frac{π}{2}$，故△AOB的面积$S=\frac{1}{2}|{OA}||{OB}|=\frac{4}{5}$．
（2）将l的极坐标方程化为直角坐标方程，得x-y-2=0，
联立方程$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1}\\{x-y-2=0}\end{array}}\right.$，解得x=2，y=0，或$x=\frac{6}{5}，y=-\frac{4}{5}$，
∴曲线C与直线l的交点坐标为（2，0）或$（{\frac{6}{5}，-\frac{4}{5}}）$．
点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与椭圆的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| 冷漠 | 不冷漠 | 总计 | |
| 多看电视 | 68 | 42 | 110 |
| 少看电视 | 20 | 38 | 58 |
| 总计 | 88 | 80 | 168 |
| P（K2≥k） | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
| A． | 大约有99.9%的把握认为“多看电视与人变冷漠”有关系 | |
| B． | 大约有99.9%的把握认为“多看电视与人变冷漠”没有关系 | |
| C． | 某人爱看电视，则他变冷漠的可能性为99.9% | |
| D． | 爱看电视的人中大约有99.9%会变冷漠 |
如图，四边形ADBC是圆内接四边形，∠CAB=∠ADC．延长DA到E使BD=AE，连结EC．