Question

10．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=4-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为ρ=-4cosθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点M的坐标为（-2，1），求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）圆C的极坐标方程为ρ=-4cosθ，即ρ²=-4ρcosθ，由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程．
（2）直线l的普通方程为y=x+3，点M在直线l上，过点M的直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$，代入圆方程得：${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$．利用一元二次方程的根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．

解答 解：（1）圆C的极坐标方程为ρ=-4cosθ，即ρ²=-4ρcosθ，由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为（x+2）²+y²=4．
（2）直线l的普通方程为y=x+3，点M在直线l上，过点M的直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$，
代入圆方程得：${t^2}+\sqrt{2}t-3=0$．
设A、B对应的参数方程分别为t₁、t₂，则${t_1}+{t_2}=-\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=-3$，
于是|MA|•|MB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=3．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数、参数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．