Question

12．在△ABC中，若sin²A=sinB•sinC且（b+c+a）（b+c-a）=3bc，则该三角形的形状是等边三角形．

Answer 1

分析 由条件利用余弦定理可得cosA=$\frac{1}{2}$，可得A=60°．再根据sinB•sinC=sin²A，可得bc=a²，即（b-c）²=0，即b=c，综合可得结论．

解答 解：在△ABC中，∵（b+c+a）（b+c-a）=3bc，
∴化简可得：b²+c²-a²=bc，
∴由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=60°．
再根据sinB•sinC=sin²A，可得bc=a²，
∴b²+c²=a²+bc=2bc，
即（b-c）²=0，
∴b=c．
综上可得，△ABC为等边三角形，
故答案为：等边三角形．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了转化思想，属于基础题．