Question

5．已知抛物线C：x²=2py（p＞0），直线l：y=-2，且抛物线的焦点到直线l的距离为3．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）动点P在直线l上，过P点作抛物线的切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，证明：PQ⊥x轴．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得抛物线的焦点及准线方程，由$\frac{p}{2}$-（-2）=3，即可求得p的值，求得抛物线的方程；
（Ⅱ）设A，B点坐标，利用中点坐标公式，求得中点Q点坐标，利用导数求得切线的斜率，求得PA及PB的方程，联立即可求得P点坐标，由由P的横坐标与Q的横坐标相等，PQ⊥x轴．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线C：x²=2py焦点F（0，$\frac{p}{2}$），准线方程：y=-$\frac{p}{2}$，
抛物线的焦点到直线l的距离为3，即$\frac{p}{2}$-（-2）=3，解得：p=2，
∴抛物线的方程x²=4y；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$），线段AB的中点Q（x₀，y₀），
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x₀，y₀=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{8}$，
∵y=$\frac{1}{4}$x²，则y′=$\frac{1}{2}$x，
∴抛物线x²=4y在A（x₁，$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$）点处的切线斜率为$\frac{1}{2}$x₁，在B（x₂，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$）点处的切线斜率为$\frac{1}{2}$x₂，
∴切线PA：y=$\frac{1}{2}$x₁（x-x₁）+$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$；切线PB：y=$\frac{1}{2}$x₂（x-x₂）+$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$，
联立可得P（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}$），
由P的横坐标与Q的横坐标相等，
∴PQ⊥x轴．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线相切位置关系的判断，导数与曲线的切线斜率之间的关系，属于中档题．