Question

13．已知函数f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n为奇数}\\{f（\frac{n}{2}），n为偶数}\end{array}\right.$，若b_n=f（2ⁿ+4），n∈N^*，则数列{b_n}的前n（n≥3）项和S_n等于2ⁿ+n．

Answer 1

分析 由函数f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n为奇数}\\{f（\frac{n}{2}），n为偶数}\end{array}\right.$，b_n=f（2ⁿ+4），可得b_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2^n-1+1，b₁=f（6）=f（3）=5，b₂=f（8）=f（2）=f（1）=1．利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：由函数f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{2n-1，n为奇数}\\{f（\frac{n}{2}），n为偶数}\end{array}\right.$，b_n=f（2ⁿ+4），
可得b_n=f（2ⁿ+4）=f（2^n-1+2）=f（2^n-2+1）=2^n-1+1，
b₁=f（6）=f（3）=5，b₂=f（8）=f（2）=f（1）=1．
∴数列{b_n}的前n（n≥3）项和S_n=5+1+2²+2³+…+2^n-1+n-2=4+$\frac{4（{2}^{n-2}-1）}{2-1}$+n=2ⁿ+n．
故答案为：2ⁿ+n．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法考查了推理能力与计算能力，属于中档题．