Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a＜0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g（x）=x³+x²[f′（x）+m]在区间（t，2）上总不是单调函数，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，从而求出单调区间，
（Ⅱ）通过求导求出a的值，从而求出g（x）的表达式，通过解不等式组，求出m的范围．

解答： 解　（Ⅰ）根据题意知，f′（x）=

a(1-x)

x

，（x＞0），
当a＜0时，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1
∴f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1]．
（Ⅱ）∵f′（2）=-

a

2

=1，
∴a=-2，
∴f（x）=-2lnx+2x-3．
∴g（x）=x³+（m+2）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（2m+4）x-2，
∵g（x）在区间（t，2）上总不是单调函数，且g′（0）=-2，
∴

g′(t)＜0 g′(2)＞0

，
由题意知：对于任意的t∈[0，1]，g′（t）＜0恒成立，
∴

g′(0)＜0 g′(1)＜0 g′(2)＞0

，
∴-

9

2

＜m＜-

5

2

．

点评：本题考察了函数的单调性，求参数的范围，导数的应用，是一道综合题．