Question

7．已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足a_n+1+S_n-1=S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设T_n为数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知等式变形得到${a_{n+1}}-{a_n}=1（n≥2，n∈{N^*}）$，根据等差数列的定义得到证明并且求通项公式；
（2）由（1）得到数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的通项公式，利用裂项求和即可得到T_n．

解答 解：（1）证明：由已知，${a_{n+1}}-{a_n}=1（n≥2，n∈{N^*}）$，且a₂-a₁=1，
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列，∴a_n=n+1．…（6分）
（2）$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$.${T_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2（n+2）}$．…（12分）

点评 本题考查了等差数列的证明、通项公式的求法以及裂项求和；属于中档题．