Question

18．已知函数f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$．
（1）当a=-3时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为$\frac{3}{2}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）要求函数f（x）的单调增区间，即求导函数值大于等于0的区间，我们根据求出函数导函数的解析式，结合函数的定义域，即可得到答案．
（2）由（1）中函数的导函数的解析式，我们对a的取值进行分析讨论，求出对应的函数的单调区间，并分析函数f（x）在[1，e]上何时取最小值，分析后即可得到答案．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-$\frac{a}{x}$，∴函数的定义域为（0，+∞）
且f'（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
a=-3时：f′（x）=$\frac{x-3}{{x}^{2}}$
令f′（x）＞0，解得：x＞3，
故f（x）在（3，+∞）递增；
（2）由（1）可知，f'（x）=$\frac{x+a}{{x}^{2}}$，
①若a≥-1，则x+a≥0，则f'（x）≥0恒成立，
函数f（x）在[1，e]上为增函数
∴f（x）的最小值为：f（1）=-a=$\frac{3}{2}$，此时a=-$\frac{3}{2}$（舍去）
②若a≤-e，则f'（x）≤0恒成立，
函数f（x）在[1，e]上为减函数
∴f（x）的最小值为：f（e）=1-$\frac{a}{e}$=$\frac{3}{2}$，
此时a=-$\frac{e}{2}$（舍去）
③若-e＜a＜-1，当1＜x＜-a时，则f'（x）＜0，
当-a＜x＜e时，f'（x）＞0，
∴f（x）的最小值为：f（-a）=ln（-a）+1=$\frac{3}{2}$，
此时a=-$\sqrt{e}$，
综上所述：a=-$\sqrt{e}$．

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，其中根据导函数的解析式，对参数a进行分析讨论是解答本题的关键．