Question

15．在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FA}$=$\frac{CP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，将△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，连结A₁B，A₁P（如图），则以下结论错误的是（　　）

• A． CF∥平面A₁EP
• B． A₁E⊥平面BEP
• C． 点B到面A₁PF的距离为$\sqrt{3}$
• D． 异面直线BP与A₁F所成角的余弦值为$\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 A，由$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FA}$=$\frac{CP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，⇒CF∥EP，⇒CF∥平面A₁EP
B，利用面面垂直的性质定理判断；
C，点B到面A₁PF的距离进行转化，B到面面A₁PF的距离即为E到面面A₁PF的距离，E到面A₁PF的距离即为△A₁EF中E到A₁F的距离；
D，DF∥BP∴∠DFA₁即为所求角

解答 解：对于A，由$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FA}$=$\frac{CP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，⇒CF∥EP，⇒CF∥平面A₁EP，故正确；
对于B，在图1中，取BE的中点D，连DF，满足$\frac{AE}{EB}$=$\frac{CF}{FA}$=$\frac{CP}{PB}$=$\frac{1}{2}$，∵AF=AD=2，又∠A=60°∴△ADF为正三角形
又∵AE=ED=1∴EF⊥AD∴在图2中有A₁E⊥EF，BE=EF
∴∠A₁EB为二面角A₁-EF-B的平面角∵二面角A₁-EF-B为直二面角∴A₁E⊥BE
又∵BE∩EF=E，∴A₁E⊥面BEF，即A₁E⊥面BEP，故正确；
对于C．∵BE∥PF∴BE∥面A₁PF，∵B到面面A₁PF的距离即为E到面面A₁PF的距离，
∵BE⊥面A₁EF，又BE∥PF，∴PF⊥面A₁EF
∴面A₁EF⊥面A₁PF∵E到面A₁PF的距离即为△A₁EF中E到A₁F的距离
d=A₁E×sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故错；
对于D，∵DF∥BP∴∠DFA₁即为所求角
△A₁DF中A₁D=，DF=2，A₁F=2，由余弦定理得cos∠DFA1=$\frac{3}{4}$，故正确；
故选：C．

点评 本题考查直线与平面平行、垂直的证明，考查点面距，考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意问题的转化．