Question

16．若已知f（e^x+$\frac{1}{e}$）=e^2x+$\frac{1}{{e}^{2x}}$，关于x的不等式f（x）+m$\sqrt{f（x）+2}$≥0恒成立，则实数m的取值范围是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 利用换元法求解出f（x）的解析式，求出f（x）的值域，带入不等式f（x）+m$\sqrt{f（x）+2}$≥0恒成立，再实数m的取值范围．

解答 解：由题意f（e^x+$\frac{1}{e}$）=e^2x+$\frac{1}{{e}^{2x}}$=（e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$）²-2，
令e^x+$\frac{1}{e}$=t，（t$＞\frac{1}{e}$），则g（t）=（t$-\frac{1}{e}$）²+$\frac{1}{（t-\frac{1}{e}）^{2}}$
∴f（x）的解析式为：f（x）=（x$-\frac{1}{e}$）²+$\frac{1}{（x-\frac{1}{e}）^{2}}$，（t$＞\frac{1}{e}$），
∴f（x）∈[2，+∞）
∴不等式f（x）+m$\sqrt{f（x）+2}$≥0转化为：f（x）≥-m$\sqrt{f（x）+2}$恒成立，
∵f（x）_min=2，
∴2≥-m$\sqrt{2+2}$即可恒成立．
解得：m≥-1．
实数m的取值范围是[-1，+∞）．
故答案为：[-1，+∞）．

点评 本题考查了解析式的求法和值域的求法，恒成立的问题转化为最值的问题．属于中档题．