Question

6．数列{a_n}满足a₁=4，S_n+S_n+1=$\frac{5}{3}$a_n+1，则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{-3×{4}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用递推公式与等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵S_n+S_n+1=$\frac{5}{3}$a_n+1，
∴n=1时，a₁+a₁+a₂=$\frac{5}{3}{a}_{2}$，解得a₂=-12．
n≥2时，S_n-1+S_n=$\frac{5}{3}{a}_{n}$，可得：a_n+a_n+1=$\frac{5}{3}$a_n+1+$\frac{5}{3}{a}_{n}$，
化为：a_n+1=4a_n，
而a₂=-a₁，
∴数列{a_n}从第二项起为等比数列．
∴n≥2时，a_n=-12×4^n-2=-3×4^n-1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{-3×{4}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{-3×{4}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推公式与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．