Question

11．在△ABC中，BC=20，tanB•tanC=$\frac{1}{4}$，AC=4$\sqrt{2}$，则cosA=$-\frac{3\sqrt{34}}{34}$．

Answer 1

分析 过A作BC的高交BC于H，高为h，CH设为x，tanC=$\frac{h}{x}$，tanB=$\frac{h}{20-x}$，可得：$\frac{h}{x}•\frac{h}{20-x}=\frac{1}{4}$，${h}^{2}+{x}^{2}=（4\sqrt{2}）^{2}$求出h和x．确定C的大小．利用余弦定理求解AB，在求cosA的值．

解答 解：由BC=a=20，AC=b=4$\sqrt{2}$，
过A作BC的高交BC于H，高为h，CH设为x
tanC=$\frac{h}{x}$，
tanB=$\frac{h}{20-x}$
可得：$\frac{h}{x}•\frac{h}{20-x}=\frac{1}{4}$
${h}^{2}+{x}^{2}=（4\sqrt{2}）^{2}$
解得：x=h=4．
∴C=45°．
由余弦定理cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$2×20×4\sqrt{2}$=400+32-c²．
解得：c=4$\sqrt{17}$．
那么：cosA=$\frac{{c}^{2}+{b}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$-\frac{3\sqrt{34}}{34}$．
故答案为：$-\frac{3\sqrt{34}}{34}$．

点评 本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题．