Question

5．已知函数f（x）=lnx．
（1）若曲线g（x）=f（x）+$\frac{a}{x}$-1在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y-1=0平行，求实数a的值；
（2）若m＞n＞0，求证$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求导，由题意可知g′（2）=-$\frac{1}{2}$，即可求得a的值；
（2）由题意可知：要证$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$．，即证$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}-1}$＜ln$\frac{m}{n}$，构造辅助函数，求得，根据函数的单调性，即可求得函数的最小值，即可证明不等式成立．

解答 解：（1）由f（x）=lnx．（x＞0），g（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，求导g′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$．
∵曲线g（x）在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y-1=0平行，
∴g′（2）=$\frac{1}{2}$-$\frac{a}{4}$=-$\frac{1}{2}$，则a=4，
实数a的值4；（4分）
（2）证明：∵m＞n＞0，∴$\frac{m}{n}$＞1，
要证$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$．，即证$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}-1}$＜ln$\frac{m}{n}$，（6分）
令$\frac{m}{n}$=x，（x＞1，h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$，（x＞1），
求导h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2（x+1）-2（x-1）}{（x+1）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x+1}{x（x+1）^{2}}$，
当x＞1时，h′（x）＞0，（8分）
∴在（1，+∞）上是增函数，则h（x）＞h（1）=0，
∴$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}-1}$＜ln$\frac{m}{n}$，
∴$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$．（12分）

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查分析法求证不等式成立，利用导数求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．