Question

16．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2acosB=c，且满足 sinAsinB（2-cosC）=sin²$\frac{C}{2}$+$\frac{1}{2}$，则△ABC为（　　）

• A． 锐角非等边三角形
• B． 等边三角形
• C． 等腰直角三角形
• D． 钝角三角形

Answer 1

分析 已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A=B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B=C，A-B=0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．

解答 解：将已知等式2acosB=c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinC，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，
∵A与B都为△ABC的内角，
∴A-B=0，即A=B，
已知第二个等式变形得：sinAsinB（2-cosC）=$\frac{1}{2}$（1-cosC）+$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$cosC，
-$\frac{1}{2}$[cos（A+B）-cos（A-B）]（2-cosC）=1-$\frac{1}{2}$cosC，
∴-$\frac{1}{2}$（-cosC-1）（2-cosC）=1-$\frac{1}{2}$cosC，
即（cosC+1）（2-cosC）=2-cosC，
整理得：cos²C-2cosC=0，即cosC（cosC-2）=0，
∴cosC=0或cosC=2（舍去），
∴C=90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选：C．

点评 此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．