Question

11．已知|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，又$\overrightarrow{c}$=m$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=2$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，则实数m的值为-1或6．

Answer 1

分析 由题设条件$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，可得$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=0，将$\overrightarrow{c}$=m$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=2$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$，代入，展开，再将|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，代入，即可得到关于参数的方程，求出参数的值

解答 解：由题意$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，可得$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$=0，
又$\overrightarrow{c}$=m$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=2$\overrightarrow{a}$-m$\overrightarrow{b}$，
∴2m${\overrightarrow{a}}^{2}$-3m${\overrightarrow{b}}^{2}$+（6-m²）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
又|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴5m+6-m²=0
∴m=-1或m=6．
故答案为：-1或6．

点评 本题考查平面向量的综合题，解答本题关键是熟练掌握向量垂直的条件，数量积的运算性质，数量积公式，本题属于向量的基本运算题，难度中等．