Question

6．（x-y）（x+2y+z）⁶的展开式中，xy³z³项的系数为-80．

Answer 1

分析 根据（x+2y+z）⁶展开式中没有x，含有y的指数为3，z的指数为3，即可出现xy³z³项，；（x+2y+z）⁶展开式中有x的指数为1，含有y的指数为2，z的指数为3，即可出现xy³z³项，利用通项求解户合拼即可．

解答 解：（x-y）（x+2y+z）⁶的展开式中，将（x+2y+z）⁶的三项化两项为[（x+2y）+z]²，由通项公式：可得T_r+1=${C}_{6}^{r}（x+2y）^{6-r}{z}^{r}$，由题意，可知r=3．
那么（x+2y）³由通项公式：可得T_k+1=${C}_{3}^{k}{x}^{3-k}{（-2）}^{k}{y}^{k}$，
若（x-y）中提供x，则（x+2y）³展开式中没有x，含有y的指数为3，z的指数为3，即可得xy³z³项，可知：k=3，
若（x-y）中提供-y，则（x+2y）³展开式中含有x的指数为1，含有y的指数为2，z的指数为3，即可得xy³z³项，可知：k=2，
∴xy²z³项的系数为${C}_{6}^{3}$${C}_{3}^{3}{（2）}^{3}$+${C}_{6}^{3}{C}_{3}^{2}（2）^{2}$=-80．
故答案为：-80．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，注意展开式关系，分情况讨论，属于中档偏难题，