Question

16．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
（注：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$）
（1）求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（2）试预测加工10个零件需要多少小时？
（3）此回归方程拟合效果如何？

零件个数x（个）	2	3	4	5
加工时 间 ]y（小时）	2.5	3	4	4.5

Answer 1

分析 （1）根据表中数据，计算$\overline{x}$、$\overline{y}$以及回归系数$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，写出回归直线方程；
（2）计算x=10时y的值，即可预测结果；
（3）根据残差以及R²的值，即可判断回归模型拟合效果．

解答 解：（1）根据表中数据，计算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（2+3+4+5）=3.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5，
$\underset{\stackrel{4}{∑}}{i=1}$x_iy_i=52.5，$\underset{\stackrel{4}{∑}}{i=1}$${{x}_{i}}^{2}$=54，
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{52.5-4×3.5×3.5}{54-4{×3.5}^{2}}$=0.7，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=3.5-0.7×3.5=1.05，
∴回归直线方程为：$\widehat{y}$=0.7x+1.05，
（2）当x=10时，y=0.7×10+1.05=8.05，
即预测加工10个零件需要8.05小时．
（3）x=2时，y=2.45，差是0.05，
x=3时，y=3.15，差是-0.15，
x=4时，y=3.95，差是0.05，
x=5时，y=4.55，差是-0.05，
计算R²知其值非常接近1，
故这个回归模型拟合效果比较好．

点评 本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，是综合性题目．