Question

设函数f（x）=xlnx（x＞0）
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（3）当x＞0时，证明：e^x＞f′（x）+1．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）求得函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的最小值．
（2）分类讨论，利用导数的正负，即可得到函数F（x）的单调性．
（3）证明e^x-f′（x）-1＞0，在x＞0时恒成立，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），且f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=

1

e

，
∴0＜x＜

1

e

时，f′（x）＜0，x＞

1

e

时，f′（x）＞0
∴x=

1

e

时，函数取得极小值，也是函数的最小值
∴f（x）_min=f（

1

e

）=

1

e

•ln

1

e

=-

1

e

．
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），
F′（x）=

2ax2+1

x

（x＞0）．
①当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜

- 1 2a

；
令F′（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞

- 1 2a

．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在（0，

- 1 2a

）上单调递增，在（

- 1 2a

，+∞）上单调递减．
证明：（3）令h（x）=e^x-f′（x）-1=e^x-lnx-2，x＞0，
则h′（x）=e^x-

1

x

，令h′（a）=e^a-

1

a

=0，
则e^a=

1

a

，a=e^-a，
则0＜x＜a时，h′（x）＜0，x＞a时，h′（x）＞0
∴x=a时，函数取得极小值，也是函数的最小值e^a-lna-2=

1

a

+a-2＞0，
故e^x-lnx-2＞0在x＞0时恒成立，
故当x＞0时，证明：e^x＞f′（x）+1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．