Question

已知矩阵A=

a 2 1 b

有一个属于特征值1的特征向量

α

=

2 -1

①求矩阵A；
②已知矩阵B=

1 -1 0 1

，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O′M′N′的面积．

Answer 1

考点：矩阵特征值的定义,特征向量的定义

专题：选作题,矩阵和变换

分析：①根据特征值、特征向量的定义，建立方程，即可求出矩阵A；
②求出变换后点的坐标，再求△O′M′N′的面积．

解答： 解：①由已知得：

a 2 1 b

2 -1

=1•

2 -1

，
∴

2a-2=2 2-b=-1

，解得

a=2 b=3

，
故A=

2 2 1 3

．…（3分）
②∵AB=

2 2 1 3

1 -1 0 1

=

2 0 1 2

…（4分）
∴

2 0 1 2

0 0

=

0 0

，

2 0 1 2

2 -1

=

4 0

，

2 0 1 2

0 2

=

0 4

…（6分）
即点O（0，0），M（2，-1），N（0，2）变成点O'（0，0），M'（4，0），N'（0，4）
∴△O'M'N'的面积为S△O′M′N′=

1

2

×4×4=8…（7分）

点评：本题考查特征值、特征向量的定义，考查矩阵变换，考查学生的计算能力，比较基础．