Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=-

1

2

（a_n-2），b_n=

2Sn

an

+1．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式．
（2）记C_n=log₃b₁+log₃b₂+…+log₃b_n，任取n∈N^*是否存在正整数m，使

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

≥

m

3

都成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出数列{a_n}是首项为

2

3

，公比为

1

3

的等比数列，由此能求出an=2•(

1

3

)n．b_n=3ⁿ．
（2）由C_n=

n(n+1)

2

，知

1

cn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂项求和法能求出任取n∈N^*使

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

≥

m

3

都成立的正整数m．

解答： 解：（1）∵S_n=-

1

2

（a_n-2），
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-

1

2

an+

1

2

an-1，
即an=

1

3

an-1，
又a1=

2

3

，∴数列{a_n}是首项为

2

3

，公比为

1

3

的等比数列，
∴an=2•(

1

3

)n．
∴Sn=

2 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=1-(

1

3

)n，
∴b_n=

2Sn

an

+1=

2-2•( 1 3 )n

2•( 1 3 )n

+1=3ⁿ．
（2）C_n=log₃b₁+log₃b₂+…+log₃b_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴

1

cn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

，
假设任取n∈N^*都存在正整数m，使

1

C1

+

1

C2

+…+

1

Cn

≥

m

3

都成立，
则

2n

n+1

≥

m

3

对?n∈N^*都成立，即m≤6-

6

n+1

对?n∈N^*都成立，
∵m是正整数，∴m的值为1，2，3．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的正整数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．