Question

10．设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n．
（1）求证{a_n+3}是等比数列
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）令n=1，则a₁=S₁=2a₁-3．求出a₁=3，由S_n+1=2a_n+1-3（n+1），得S_n=2a_n-3n，两式相减，推导出a_n+1+3=2（a_n+3），由此能证明{a_n+3}是首项为6，公比为2的等比数列．
（2）由a_n+3=6×2^n-1，能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由a_n=6×2^n-1-3，能求出数列{a_n}的前n项和．

解答 证明：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，对于任意的n∈N^*，都有S_n=2a_n-3n．
∴令n=1，则a₁=S₁=2a₁-3．解得a₁=3，
又S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
两式相减得，
a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，则a_n+1=2a_n+3，
∴a_n+1+3=2（a_n+3），
又a₁+3=6，
∴{a_n+3}是首项为6，公比为2的等比数列．
解：（2）∵{a_n+3}是首项为6，公比为2的等比数列．
∴a_n+3=6×2^n-1，∴a_n=6×2^n-1-3．
（3）∵a_n=6×2^n-1-3．
∴数列{a_n}的前n项和：
S_n=6×$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-3n=6×2ⁿ-3n-6．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式及前n项和的求法，考查等比数列、构造法等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．