Question

3．在极坐标系中，曲线$ρ=3cos（{θ-\frac{π}{3}}）$上任意两点间的距离的最大值为3．

Answer 1

分析 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：x²+y²-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$y=0，是以r=$\frac{3}{2}$为半径的圆，曲线$ρ=3cos（{θ-\frac{π}{3}}）$上任意两点间的距离的最大值为2r，由此能求出结果．

解答 解：曲线$ρ=3cos（{θ-\frac{π}{3}}）$，即$ρ=\frac{3}{2}cosθ+\frac{3\sqrt{3}}{2}sinθ$，
∴${ρ}^{2}=\frac{3}{2}ρcosθ+\frac{3\sqrt{3}}{2}ρsinθ$，
化为直角坐标方程为：x²+y²-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$y=0，
由以r=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{27}{4}}$=$\frac{3}{2}$为半径的圆，
∴曲线$ρ=3cos（{θ-\frac{π}{3}}）$上任意两点间的距离的最大值为2r=3．
故答案为：3．

点评 本题考查曲线上任意两点间的距离的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、的互化、圆的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．