Question

7．已知圆A：（x+2）²+y²=1，A（-2，0），B（2，0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程．
（1）△PAB的周长为10；
（2）圆P过B（2，0）且与圆A外切（P为动圆圆心）．

Answer 1

分析 （1）推导出P点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4，由此能求出P点的轨迹方程．
（2）设动圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r，从而|PA|-|PB|=1＜4，由双曲线定义知P点的轨迹是双曲线的右支，由此能示出P点的轨迹方程．

解答 解：（1）∵|PA|+|PB|+|AB|=10，…（2分）
即|PA|+|PB|=6＞4…（4分）∴P点的轨迹是椭圆，且2a=6，2c=4，…（5分）
即$a=3，c=2，b=\sqrt{5}$，…（6分）
所以P点的轨迹方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1（y≠0）$．…．（7分）
（2）设动圆P的半径为r，则|PA|=r+1，|PB|=r…．（9分）
因此|PA|-|PB|=1＜4…..（11分）
由双曲线定义知P点的轨迹是双曲线的右支，2a=1，2c=4，…．（12分）
即$a=\frac{1}{2}，c=2，b=\frac{{\sqrt{15}}}{2}$，…..（13分）
故P点的轨迹方程为$\frac{x^2}{{\frac{1}{4}}}-\frac{y^2}{{\frac{15}{4}}}=1（x≥\frac{1}{2}）$…（14分）

点评 本题考查动点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、双曲线的性质的合理运用．