Question

设f（x）=x²-x-blnx+m，（b，m∈R）．
（Ⅰ）当b=3时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）记h（x）=f（x）+blnx，求函数y=h（x）在（0，m]上的最小值；
（Ⅲ）当b=1时，若函数f（x）有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）配方法，分类讨论，即可求函数y=h（x）在（0，m]上的最小值；
（Ⅲ）当b=1时，函数f（x）有零点，即x²-x-lnx+m=0有解，即m=-x²+x+lnx有解．

解答： 解：（Ⅰ）当b=3时，f（x）=x²-x-3lnx+m，则f′（x）=

(2x-3)(x+1)

x

（x＞0），
∴f（x）在[

3

2

，+∞）上单调递增；在（0，

3

2

）上单调递减；
（Ⅱ）h（x）=f（x）+blnx=(x-

1

2

)2+m-

1

4（x＞0），
∴0＜m≤

1

2

时，函数h（x）在（0，m]上单调递减，∴h（x）_min=h（m）=m²；
m＞

1

2

时，函数h（x）在（0，

1

2

]上单调递减，在[

1

2

，m]上单调递增，∴h（x）_min=h（

1

2

）=m-

1

4

．
（Ⅲ）当b=1时，函数f（x）有零点，即x²-x-lnx+m=0有解，即m=-x²+x+lnx有解．
令g（x）=-x²+x+lnx，则g′（x）=

(x-1)(2x+1)

x

，
∴g（x）在（1，+∞）上是减函数．在（0，1）上是增函数，
∴g（x）≤g（1）=0，
∴函数f（x）有零点时，m≤0．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．