Question

7．已知定义在（-1，1）上的奇函数f（x），在x∈（-1，0）时，f（x）=2^x+2^-x．
（1）求f（x）在（-1，1）上的表达式；
（2）用定义证明f（x）在（-1，0）上是减函数；
（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式m•2^x•f（x）＜4^x-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性求出f（x）的表达式即可；
（2）根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；
（3）问题掌握$m＞-\frac{{{4^x}-1}}{{{4^x}+1}}=-1+\frac{2}{{{4^x}+1}}$，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）由f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，得f（0）=0，
设x∈（0，1），则-x∈（-1，0），
所以f（-x）=-f（x）=2^x+2^-x，f（x）=-（2^x+2^-x）
故$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}+{2^{-x}}，x∈（-1，0）\\ 0，x=0\\-（{2^x}+{2^{-x}}）x∈（0，1）\end{array}\right.$…（4分）
（2）设x₁，x₂是（-1，0）上任意两个实数，且x₁＜x₂，
$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）（{2^{x_1}}•{2^{x_2}}-1）}}{{{2^{x_1}}•{2^{x_2}}}}$，
∵${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0，0＜{2^{x_1}}{2^{x_2}}＜1$，f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）在x∈（-1，0）是减函数．…（8分）
（3）由m•2^x•f（x）＜4^x-1，
化简得$m＞-\frac{{{4^x}-1}}{{{4^x}+1}}=-1+\frac{2}{{{4^x}+1}}$，
因为x∈（0，1），4^x+1∈（2，5），
所以$-1+\frac{2}{{{4^x}+1}}∈（-\frac{3}{5}，0）$，
故m的取值范围m≥0．…（12分）

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查转化思想，是一道中档题．