Question

17．函数$f（x）=1+2sin（2ωx+\frac{π}{6}）$（0＜ω＜1），若直线x=$\frac{π}{3}$是函数f（x）图象的一条对称轴；
（1）试求ω的值；
（2）先列表再作出函数f（x）在区间[-π，π]上的图象；并写出在[-π，π]上的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）利用函数的对称轴，求出ω的关系式，利用范围求解ω的值．
（2）通过列表，描点，连线，作出函数的图象，求出单调减区间即可．

解答 解：（1）f（x）=1+2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）．因为直线x=$\frac{π}{3}$是函数f（x）图象的一条对称轴，所以sin（$\frac{2ωπ}{3}$+$\frac{π}{6}$）=±1．所以$\frac{2ωπ}{3}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）．------------------（3分）
所以ω=$\frac{3}{2}$k+$\frac{1}{2}$．因为0＜ω＜1，所以$-\frac{1}{3}＜k＜\frac{1}{3}$．又k∈Z，
所以k=0，ω=$\frac{1}{2}$．-----------------------------（6分）
（2）由（1）知，f（x）=1+2sin（x+$\frac{π}{6}$）．
列表：

x+$\frac{π}{6}$	-$\frac{5}{6}$π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{7}{6}$π
x	-π	-$\frac{2}{3}$π	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{5π}{6}$	π
y	0	-1	1	3	1	0

-------------------------------------------------------------------（8分）
描点作图，函数f（x）在[-π，π]上的图象如图所示．
-------------（10分）

单调递减区间$[{-π，-\frac{2π}{3}}]$，$[{\frac{π}{3}，π}]$------------------------------------（12分）

点评 本题考查三角函数的图形的画法，正弦函数的性质的应用，考查计算能力．