Question

16．（文）点P是椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的一点，F₁，F₂是左右焦点，且∠F₁PF₂=30°，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 由椭圆的性质可知：|F₁P|+|PF₂|=2$\sqrt{5}$，|F₁F₂|=2；由余弦定理可知：|F₁F₂|²=|F₁P|²+|PF₂|²-2|F₁P||PF₂|cos30°，求得|F₁P||PF₂|=16（2-$\sqrt{3}$），由三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$|F₁P||PF₂|•sin30°，即可求得△F₁PF₂的面积．

解答 解：由题意，椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，a=$\sqrt{5}$，b=2，c=1
|F₁P|+|PF₂|=2$\sqrt{5}$，|F₁F₂|=2；
则由余弦定理得，
|F₁F₂|²=|F₁P|²+|PF₂|²-2|F₁P||PF₂|cos30°；
故4=（|F₁P|+|PF₂|）²-2|F₁P||PF₂|cos30°-2|F₁P||PF₂|；
故4=16-|F₁P||PF₂|（$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2）；
故|F₁P||PF₂|=16（2-$\sqrt{3}$）
故△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|F₁P||PF₂|•sin30°
=8-4$\sqrt{3}$；
△F₁PF₂的面积8-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，余弦定理及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题．