Question

已知二次函数满足f（3x+1）=9x²-6x+5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设出二次函数f（x）的解析式，利用待定系数法求出系数即可；
（2）根据f（x）的解析式是二次函数，求出它的值域即可．

解答： 解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∴f（3x+1）=a（3x+1）²+b（3x+1）+c
=9ax²+（6a+3b）x+（a+b+c）
=9x²-6x+5，
∴

9a=9 6a+3b=-6 a+b+c=5

，
解得a=1，b=-4，c=8，
∴f（x）=x²-4x+8；
（2）∵f（x）=x²-4x+8
=（x-2）²+4≥4，
且当x=2时，f（x）取得最小值4；
∴f（x）的值域是[4，+∞）．

点评：本题考查了利用待定系数法求函数的解析式以及利用函数的解析式求函数的值域的应用问题，是基础题目．