Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，N为AD的中点
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PNB；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P-NBM的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先证明PN⊥AD，再证明BN⊥AD，即有AD⊥平面PNB，又AD∥BC，从而可证BC⊥平面PNB．
（Ⅱ）可证PN⊥平面ABCD，PN⊥NB，由PA=PD=AD=2，可得PN=NA=

3

，S_△PNB=

3

2

，又BC⊥平面PNB，PM=2MC，即可由V_P-NBM=V_M-PNB=

2

3

V_C-PNB可得三菱锥P-NBM的体积．

解答： 证明：（Ⅰ）∵PA=AD，N为AD的中点，
∴PN⊥AD，
又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，又因为N为AD的中点，
∴BN⊥AD，又PN∩BN=N
∴AD⊥平面PNB，
∵AD∥BC
∴BC⊥平面PNB…6分
（Ⅱ）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PN⊥AD
∴PN⊥平面ABCD，
∴PN⊥NB，
∵PA=PD=AD=2，
∴PN=NA=

3

，
∴S_△PNB=

3

2

又BC⊥平面PNB，PM=2MC，
∴V_P-NBM=V_M-PNB=

2

3

V_C-PNB=

2

3

×

1

3

×

1

2

×

3

×

3

×2=

2

3

…12分

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，三菱锥体积的求法，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．