Question

已知O为坐标原点，向量

OA

=（1，0），

OB

=（-1，2）．若平面区域D由所有满足

OC

=λ

OA

+μ

OB

（-2≤λ≤2，-1≤μ≤1）的点C组成，则能够把区域D的周长和面积同时分为相等的两部分的曲线是（　　）

• A、y=

  1

  x

• B、y=x+cosx
• C、y=ln

  5-x

  5+x

• D、y=e^x+e^-x-1

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义,函数的图象

专题：平面向量及应用

分析：设C（x，y），由

OC

=λ

OA

+μ

OB

（-2≤λ≤2，-1≤μ≤1），可得

x=λ-μ y=2μ

．由-2≤λ≤2，-1≤μ≤1，可得-2≤y≤2，x+

y

2

=λ∈[-2，2]．可得如图所示的平面区域D关于原点对称．所给的函数中：满足能够把区域D的周长和面积同时分为相等的两部分，则函数必须是奇函数且经过原点．

解答： 解：设C（x，y），∵

OC

=λ

OA

+μ

OB

（-2≤λ≤2，-1≤μ≤1），
∴（x，y）=λ（1，0）+μ（-1，2），
∴

x=λ-μ y=2μ

．
∵-2≤λ≤2，-1≤μ≤1，
∴-2≤y≤2，x+

y

2

=λ∈[-2，2]．
可得如图所示的平面区域D关于原点对称．
所给的函数中：只有C中的函数y=ln

5-x

5+x

是奇函数且经过原点，
满足能够把区域D的周长和面积同时分为相等的两部分．
故选：C．

点评：本题考查了向量的线性运算、线性规划有关知识、奇函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．