Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，如果PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点
（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；
（Ⅱ）求证：CG⊥平面PCD，并求P-EFG三棱锥的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）先由PB∥平面EFG，AB∥平面EFG证明平面PAB∥平面EFG，再证明PA∥平面EFG；
（Ⅱ）由PD⊥CG，CG⊥CD，证明CG⊥平面PCD；
由V_{三棱锥P-EFG}=V_{三棱锥G-PEF}，求出△PEF的面积S_△PEF以及棱锥的高CG即可求出体积．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵PB∥EG，PB?平面EFG，
∴PB∥平面EFG；-----（2分）
又∵AB∥DC，EF∥DC，
∴AB∥EF，
且AB?平面EFG，∴AB∥平面EFG；----（4分）
又∵PB∩AB=B，∴平面PAB∥平面EFG；-----（6分）
∴PA∥平面EFG；----（7分）
（Ⅱ）证明：∵PD⊥平面ABCD，CG?平面ABCD，
∴PD⊥CG；-------（9分）
又∵CG⊥CD，且PD∩CD=D，
∴CG⊥平面PCD；------（11分）
又∵PF=EF=

1

2

PA=1，CG=

1

2

DA=1，
∴V_{三棱锥P-EFG}=V_{三棱锥G-PEF}
=

1

3

S_△PEF•CG
=

1

3

×

1

2

×1×1×1
=

1

6

．-----（14分）

点评：本题考查了空间中的平行与垂直的证明问题，解题时应熟练地运用几何语言、符号语言和图形语言进行解答，是中档题．