Question

一个底面半径为2，高为2的圆锥，其内接一长方体（底面在圆锥底面上，其他四个顶点在圆锥的母线上），如图是其图形及其一个轴截面图，若AC=2，长方体底面一边长为x．

（1）求内接长方体的高；
（2）当x为何值时内接长方体体积有最大值，并求出最大值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：计算题

分析：（1）由相似性得

O1C1

2

=

2-CC1

2

，解得长方体的高CC₁=1；
（2）用x表示长方体体积，配方求最大值．

解答： 解：（1）∵圆锥的底面半径为2，高为2，且AC=2
∴由相似性得

O1C1

2

=

2-CC1

2

，解得长方体的高CC₁=1…（5分）
（2）∵长方体底面一边长为x，AC=2，则另一边为

4-x2

，…（7分）
∴长方体底面面积S=x

4-x2

，（0＜x＜2）…（8分）
由已知棱柱的高为1，
∴长方体体积V=S×1=x

4-x2

=

-x4+4x2

=

-(x2-2)2+4

…（10分）
则当x²=2即x=

2

时，长方体体积有最大值2…（12分）

点评：本题主要考查了圆锥的内接长方体问题，以及基本不等式在最值中的应用，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．