题目内容
已知函数f（x）=2cosxsin（x+
）-
．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f（B）的取值范围．
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b所对角为B，试求cosB的取值范围，并确定此时f（B）的取值范围．
考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性
专题：三角函数的图像与性质,解三角形
分析：（I）利用两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性即可得出；
（II）由余弦定理和基本不等式的性质、正弦余弦函数的单调性即可得出．
（II）由余弦定理和基本不等式的性质、正弦余弦函数的单调性即可得出．
解答：
解：（I）函数f（x）=2cosxsin（x+
）-
=2cosx(
sinx+
cosx)-
=
sin2x+
=
sin2x+
cos2x
=sin(2x+
)，
由
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ解得
+kπ≤x≤
π+kπ（k∈Z），
可得函数f（x）的单调递减区间为[
+kπ，
+kπ](k∈Z)；
（II）由余弦定理可得；cosB=
=
≥
=
，
∴
≤cosB＜1，∴0＜B≤
，
∴
＜2B+
≤π．
∴f(B)=sin(2B+
)∈[0，1]．
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
=2cosx(
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
2
| ||||
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=sin(2x+
| π |
| 3 |
由
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 7 |
| 12 |
可得函数f（x）的单调递减区间为[
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
（II）由余弦定理可得；cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2-ac |
| 2ac |
| 2ac-ac |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
∴
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f(B)=sin(2B+
| π |
| 3 |
点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦余弦函数的单调性、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
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