Question

若x∈[-

π

3

，

π

4

]，则函数y=

1

cos2x

+2tanx+1的最小值为

 

，最大值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：化简三角函数，从而可得y=

1

cos2x

+2tanx+1=tan²x+2tanx+2=（tanx+1）²+1，而tanx∈[-

3

，1]，由二次函数的最值，从而求函数的最值点及最值．

解答： 解：y=

1

cos2x

+2tanx+1
=

cos2x+sin2x

cos2x

+2tanx+1
=tan²x+2tanx+2
=（tanx+1）²+1，
∵x∈[-

π

3

，

π

4

]，
∴tanx∈[-

3

，1]，
∴当tanx=-1，即x=-

π

4

时，
函数y=

1

cos2x

+2tanx+1取得最小值1；
当tanx=1，即x=

π

4

时，
函数y=

1

cos2x

+2tanx+1取得最大值4+1=5．
故答案为：1，5．

点评：本题考查了三角函数的化简与二次函数的最值的求法，注意对称轴与区间的关系，属于中档题．