Question

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=45°，cosB=$\frac{4}{5}$．
（1）求cosC的值；
（2）若BC=20，D为AB的中点，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）cosC=cos（π-A-B）=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB即可求解．
（2）由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$⇒AC=12$\sqrt{2}$，由D为AB的中点，⇒${\overrightarrow{CD}}^{2}=\frac{1}{4}（{\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{CB}}^{2}+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}）$=$\frac{1}{4}（288+400+2×12\sqrt{2}×20×（-\frac{\sqrt{2}}{10}）$=592，即可求得CD

解答 解：（1）在△ABC中，由cosB=$\frac{4}{5}$．得sinB=$\frac{3}{5}$，
则cosC=cos（π-A-B）=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$．
（2）在△ABC中，∵sinB=$\frac{3}{5}$，A=45°，BC=20，
由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$⇒AC=12$\sqrt{2}$，
∵D为AB的中点，∴$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$⇒${\overrightarrow{CD}}^{2}=\frac{1}{4}（{\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{CB}}^{2}+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}）$=$\frac{1}{4}（288+400+2×12\sqrt{2}×20×（-\frac{\sqrt{2}}{10}）$=592，
∴CD=4$\sqrt{37}$．

点评 本题考查了三角恒等变形，正弦定理，考查了计算能力，属于中档题．