Question

9．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=2x-4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x-1上，求圆C的方程
（2）若过原点的直线m与圆C有公共点，求直线m的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）联立两直线方程求出圆心坐标，直接代入圆的标准方程得答案；
（2）设出过原点的直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得斜率，则答案可求．

解答 解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-4}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$．
∴圆心坐标为（3，2），由半径r=1，
∴圆C的方程为（x-3）²+（y-2）²=1；
（2）如图，
设直线m的方程为y=kx，
由圆心（3，2）到直线kx-y=0的距离d=$\frac{|3k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，
解得k=$\frac{3±\sqrt{3}}{4}$．
∴过原点的直线m与圆C有公共点，直线m的斜率k的取值范围是[$\frac{3-\sqrt{3}}{4}，\frac{3+\sqrt{3}}{4}$]．

点评 本题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，是基础题．