Question

4．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n+1，则数列$\{\frac{a_n}{n}\}$的前n项和为（　　）

• A． $\frac{{{n^2}+5n}}{2}$
• B． $\frac{{{n^2}+5n}}{4}$
• C． $\frac{{{n^2}+3n}}{2}$
• D． $\frac{{{n^2}+3n}}{4}$

Answer 1

分析 利用累加求和方法可得a_n，再利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n+n+1，∴n≥2时，a_n-a_n-1=n．
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n=1时也成立）．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{n+1}{2}$．
则数列$\{\frac{a_n}{n}\}$的前n项和为=$\frac{1}{2}×\frac{n（2+n+1）}{2}$=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．