题目内容
13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上三点A，B，P（位于x轴同侧）椭圆C的左、右焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（Ⅰ）当A的坐标为（0，1），AF1∥BF2时，求$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{2}|}$的值
（Ⅱ）当直线AP经过点（-2，0），且BP⊥y轴时，判断直线AF1与BF2的位置关系，并说明理由．
分析 （Ⅰ）由题意可知：c=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$，b2=a2-c2=1，即可求得椭圆方程；求得丨AF1丨=$\sqrt{2}$，设直线BF2的方程，代入椭圆方程，即可求得B点坐标，即可求得
丨BF2丨，即可求得$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{2}|}$的值；
（Ⅱ）由题意可得：设直线AP的方程，代入椭圆方程，利用直线的斜率公式及韦达定理可得${k}_{A{F}_{1}}$-${k}_{B{F}_{2}}$=0，则直线AF1与BF2平行．
解答 解：（Ⅰ）由题意可知：c=1，椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则a=$\sqrt{2}$，
b2=a2-c2=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，
由A（0，1），F1（-1，0），丨AF1丨=$\sqrt{2}$，
则直线AF1的斜率k=$\frac{1-0}{0-（-1）}$=1，则直线BF2的方程y=x-1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
由A，B，P（位于x轴同侧）则B（$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），
丨BF2丨=$\sqrt{（\frac{4}{3}-1）^{2}+（\frac{1}{3}-0）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{2}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{3}}$=3
$\frac{|A{F}_{1}|}{|B{F}_{2}|}$的值3；
（Ⅱ）由直线AP经过点（-2，0），设直线AP：y=k（x+2），设A（x1，y1），P（x2，y2），
由BP⊥y轴，则B（-x2，y2），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2-2=0，
x1+x2=-$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
则AF1的斜率${k}_{A{F}_{1}}$=$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}+1}$，BF2的斜率${k}_{B{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{2}}{-{x}_{2}-1}$，
则${k}_{A{F}_{1}}$-${k}_{B{F}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{y}_{1}（{x}_{2}+1）+{y}_{2}（{x}_{1}+1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$，
由y2（x1+1）+（x2+1）y1=k2（x2+2）（x1+1）+（x2+1）×k1（x1+2）=k[2x1x2+3（x1+x2）+4]
=k[2×$\frac{8{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+3×（-$\frac{8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）+4]=0，
∴${k}_{A{F}_{1}}$=${k}_{B{F}_{2}}$，
∴直线AF1与BF2平行．
点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．
金钥匙试卷系列答案| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 既不充分也不必要条件 | D． | 充要条件 |
| A． | $\frac{{{n^2}+5n}}{2}$ | B． | $\frac{{{n^2}+5n}}{4}$ | C． | $\frac{{{n^2}+3n}}{2}$ | D． | $\frac{{{n^2}+3n}}{4}$ |
如图是2015年日喀则市举办青少年运动会上，7位裁判为某武术队员打出的分数的茎叶图，左边数字表示十位数字，右边数字表示个位数字．这些数据的中位数是______，去掉一个最低分和最高分后所剩数据的平均数是（ ）| A． | 86.5； 86.7 | B． | 88； 86.7 | C． | 88；86.8 | D． | 86.5；86.8 |
| A． | （2$\sqrt{2}$，+∞） | B． | （-∞，-2$\sqrt{2}$）∪（2$\sqrt{2}$，+∞） | C． | （-2$\sqrt{2}$，2）∪（2$\sqrt{2}$，+∞） | D． | （-∞，-2）∪（2，+∞） |
| A． | （-∞，2） | B． | $（-∞，\frac{1}{2}）$ | C． | $（0，\frac{1}{2}）$ | D． | $（\frac{1}{2}，+∞）$ |
| A． | $\frac{4}{5}$ | B． | $\frac{4}{5}i$ | C． | $\frac{6}{5}$ | D． | $\frac{6}{5}i$ |