Question

9．已知数列{a_n}是等差数列，且$\left\{{{2^{a_n}}}\right\}$的第3项为8，第5项为128．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由${2}^{{a}_{3}}$=8，$，{2}^{{a}_{5}}$=128，可得a₃=3，a₅=7，再利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：（1）由${2}^{{a}_{3}}$=8，$，{2}^{{a}_{5}}$=128，可得a₃=3，a₅=7，
设数列{a_n}的公差为d，则2d=a₅-a₃=4⇒d=2，
所以a_n=a₃+（n-3）d=2n-3．
（2）因为${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）$，
所以T_n=$\frac{1}{2}[（-1-1）$+$（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}）]$=$\frac{1}{2}（-1-\frac{1}{2n-1}）$=$\frac{n}{1-2n}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．