Question

8．设函数f（x）=$\frac{{a{x^3}}}{3}-b{x^2}+{a^2}x-\frac{1}{3}$在x=1处取得极值为0，则a+b=-$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 求出导函数，根据定义可知f'（1）=a-2b+a²=0，f（1）=0，得出a=1或a=-$\frac{2}{3}$，由极值概念可知a=1不成立，故a=-$\frac{2}{3}$，b=-$\frac{1}{9}$，得出答案．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{a{x^3}}}{3}-b{x^2}+{a^2}x-\frac{1}{3}$，
∴f'（x）=ax²-2bx+a²，
∵在x=1处取得极值为0，
∴f'（1）=a-2b+a²=0，
f（1）=0，
∴a=1或a=-$\frac{2}{3}$，
∵函数有极值，a=1不成立．
∴a=-$\frac{2}{3}$，b=-$\frac{1}{9}$，
故答案为-$\frac{7}{9}$．

点评 本题考查了极值的概念和导函数的应用，属于基础题型，应熟练掌握．