Question

19．设函数$f（x）=cos（{2x+\frac{π}{3}}）+{sin^2}x$．
（1）求函数y=f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，若$cosB=\frac{1}{3}$，$f（{\frac{C}{3}}）=-\frac{1}{4}$，求sinA．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式和正弦型函数的性质，即可求函数的最小正周期和最大值，
（2）根据$cosB=\frac{1}{3}$，$f（{\frac{C}{3}}）=-\frac{1}{4}$，求解出出C，即可得sinA的值．

解答 解：（1）函数$f（x）=cos（{2x+\frac{π}{3}}）+{sin^2}x$．
化简可得：$f（x）=cos（{2x+\frac{π}{3}}）+{sin^2}x$=$cos2xcos\frac{π}{3}-sin2xsin\frac{π}{3}+\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$．
∴函数y=f（x）的最大值为$\frac{{1+\sqrt{3}}}{2}$，
最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）由$f（{\frac{C}{3}}）=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin\frac{2C}{3}=-\frac{1}{4}$，
得$sin\frac{2C}{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∵0＜C＜π，
∴0＜$\frac{2}{3}$C＜$\frac{2π}{3}$
∴$\frac{2C}{3}=\frac{π}{3}$
解得，$C=\frac{π}{2}$．
∴△ABC是直角三角形．
因此，$sinA=cosB=\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．