Question

3．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．
（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；
（2）求二面角D-EC-B的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，四边形AEFG为平行四边形，
即AG∥EF，由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，可证平面BDE⊥平面BCD
（2），过点B在△BEC内做BM⊥EC，垂足为M，连接DM，则DM⊥EC，可得∠DMB为所求二面角的平面角
在等腰三角形EBC中．由面积相等可知：$MB=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，$MD=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$；$BD=2\sqrt{2}$，根据余弦定理$cos∠DMB=\frac{{M{D^2}+M{B^2}-B{D^2}}}{2•MD•MB}$=$\frac{1}{4}$，即可．

解答 解：（1）证明：如下图所示：取BD边的中点F，BC的中点为G，
连接AG，FG，EF，由题意可知，FG是△BCD的中位线                
所以FG∥AE且FG=AE，即四边形AEFG为平行四边形，
所以AG∥EF
由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF?面BDE，
故平面BDE⊥平面BCD
（2）由AB=2，AE=1可知，$BE=\sqrt{5}$，同理$DE=\sqrt{5}$
又DC=BC=2，EC为△BEC，△DEC的公共边，
知△BEC≌△DEC，过点B在△BEC内做BM⊥EC，垂足为M，连接DM，则DM⊥EC，
所以∠DMB为所求二面角的平面角
在等腰三角形EBC中$BE=EC=\sqrt{5}$，BC=2．
由面积相等可知：$MB=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，$MD=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$；$BD=2\sqrt{2}$
根据余弦定理$cos∠DMB=\frac{{M{D^2}+M{B^2}-B{D^2}}}{2•MD•MB}$=$\frac{1}{4}$
所以二面角D-EC-B正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$

点评 本题考查了空间面面垂直的判定，几何法求二面角，属于中档题．