Question

16．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，$\frac{π}{2}≤α＜π$），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（Ⅰ）讨论直线l与圆C的公共点个数；
（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在$[{\frac{π}{2}，π}）$内的一条直线，圆C的方程为（x-1）²+y²=1，即可讨论直线l与圆C的公共点个数；
（Ⅱ）过极点作直线l的垂线，垂足为P，联立$\left\{\begin{array}{l}ρ=2cosθ\\ ρ=sinθ（{0≤θ＜\frac{π}{2}}）\end{array}\right.$得$ρ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，即可求点P的轨迹与圆C相交所得弦长．

解答 解：（Ⅰ）直线l为过定点A（0，1），倾斜角在$[{\frac{π}{2}，π}）$内的一条直线，
圆C的方程为（x-1）²+y²=1，∴当$α=\frac{π}{2}$时，直线l与圆C有1个公共点；
当$\frac{π}{2}＜α＜π$时，直线l与圆C有2个公共点
（Ⅱ）依题意，点P在以OA为直径的圆上，可得轨迹极坐标方程为$ρ=sinθ（{0≤θ＜\frac{π}{2}}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}ρ=2cosθ\\ ρ=sinθ（{0≤θ＜\frac{π}{2}}）\end{array}\right.$得$ρ=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
∴点P的轨迹与圆C相交所得弦长是$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查极坐标方程的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．