Question

已知函数f（x）=sin（

π

2

+x）cos（

π

2

-x），给出下列四个说法：
①若f（x₁）=-f（x₂），则x₁=-x₂；  ②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上是增函数； ④f（x）的图象关于直线x=

3π

4

对称．
其中正确说法的个数为（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：三角函数的化简求值,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的图像与性质

分析：化简解析式可得f（x）=

1

2

sin2x，由已知可求x₁=-x₂+2kπ（k∈Z），即可判断①错；
由周期公式可求f（x）的最小正周期是π，即可判断②错；
令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，可求得单调递增区间即可判断③对；
令2x=

π

2

+kπ，求得对称轴方程即可判断④对．

解答： 解：f（x）=sin（

π

2

+x）cos（

π

2

-x）=

1

2

sin2x，若f（x₁）=-f（x₂），则f（x₁）=f（-x₂），所以x₁=-x₂+2kπ（k∈Z），故①错；
f（x）的最小正周期是π，故②错；
令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，所以-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ（k∈Z），故③对；
令2x=

π

2

+kπ，所以x=

π

4

+

kπ

2

（k∈Z），所以④对．
综上，正确说法的个数为2．
故选：B．

点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，运用诱导公式化简求值，三角函数的图象与性质，属于基础题．