Question

已知点F是椭圆C的右焦点，A，B是椭圆短轴的两个端点，且△ABF是正三角形，
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）直线l与以AB为直径的圆O相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2

3

，求椭圆C的标准方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距为2c，由△ABF是正三角形，得a=2b，b=

1

2

a，由此能求出椭圆的离心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，所以椭圆方程为x²+4y²=4b²，设直线l与椭圆C的交点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），若直线l与x轴垂直，则弦长|MN|=

3

b，当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y=kx+m，与x²+4y²=4b²联立，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-b²）=0，由此利用韦达定理、直线与圆相切性质，结合已知条件能求出椭圆C的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距为2c，
∵△ABF是正三角形，∴a=2b，b=

1

2

a，
又∵a²=b²+c²，∴c=

3

2

a，
∴椭圆的离心率e=

c

a

=

3

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴椭圆方程为x²+4y²=4b²，
设直线l与椭圆C的交点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
若直线l与x轴垂直，则弦长|MN|=

3

b，
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y=kx+m，
与x²+4y²=4b²联立，整理，得：（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-b²）=0，（*）
则x₁，x₂是方程（*）的两个根，∴

x1+x2=- 8km 1+4k2 x1x2= 4(m2-b2) 1+4k2

，
∴|MN|²=（

1+k2

|x1-x2|）²=（1+k²）[（-

8km

1+4k2

）²-4•

4(m2-b2)

1+4k2

]
=

16(1+k2)

(1+4k2)2

(b2-m2+4k2b2)，①
∵直线l与圆O相切，∴b=

|m|

1+k2

，解得m²=b²（1+k²），
代入①得|MN|²=16b2•

3k2(1+k2)

(1+4k2)2

≤16•

( 3k2+1+k2 2 )2

(1+4k2)2

•b²=4b²，
当且仅当3k²=1+k²，k=±

2

2

时，等号成立．
∴此时|MN|_max=2b，于是弦长|MN|的最大值为2b=2

3

，
∴b=

3

，a=2

3

，
∴椭圆C的方程为

x2

12

+

y2

3

=1．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．