Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）焦距为2

2

，且过点（

2

，1），动直线l和椭圆C相交于A，B两点，点N为线段AB的中点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当N的坐标为（1，1）时，求此时△AOB的面积；
（Ⅲ）设点M也是椭圆C上的一点，且满足

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，问：是否存在两个定点F₁，F₂使|NF₁|+|NF₂|为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，则说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出2a=1+

( 2 + 2 )2+1

=4，c=

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用点点差法求出直线AB的方程为y=-

1

2

x+

3

2

，联立

y=- 1 2 x+ 3 2 x2 4 + y2 2 =1

，得3x²-6x+1=0，由此能求出△AOB的面积．
（Ⅲ）由

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，得M（

3

5

x1+

4

5

x2，

3

5

y1+

4

5

y2），代入椭圆方程得x₁x₂+2y₁y₂=0，设中点N（x，y），则x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，由此推导出点N在以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点，以2

2

为长轴的椭圆上，所以存在两个定点F₁（-1，0），F₂（1，0），使|NF1|+|NF2|=2

2

．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）焦距为2

2

，且过点（

2

，1），
∴2a=1+

( 2 + 2 )2+1

=4，∴a=2，
又c=

2

，∴b²=4-2=2，
∴椭圆C的方程为：

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

x12

4

+

y12

2

=1，①，

x22

4

+

y22

2

=1，②
∵动直线l和椭圆C相交于A，B两点，点N为线段AB的中点．
当N的坐标为（1，1）时，x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
①-②得

2(x1-x2)

4

+

2(y1-y2)

2

=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

，
∴直线AB的方程为y=-

1

2

x+

3

2

，
联立

y=- 1 2 x+ 3 2 x2 4 + y2 2 =1

，得3x²-6x+1=0，
∴x1+x2=2，x1x2=

1

3

，∴|AB|=

(1+( 1 2 )2

•

22-4 1 3

=

30

3

，
∴S△AOB=

1

2

•

30

3

•

3

5

=

6

2

．
（Ⅲ）由

OM

=

3

5

OA

+

4

5

OB

，得M（

3

5

x1+

4

5

x2，

3

5

y1+

4

5

y2），
代入椭圆方程，得

1

4

(

3

5

x1+

4

5

x2)2+

1

2

(

3

5

y1+

4

5

y2)2=1，
化简，得x₁x₂+2y₁y₂=0，
设中点N（x，y），则x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，
∴x²+2y²=（

x1+x2

2

）²+2（

y1+y2

2

）²
=(

x12

4

+

y12

2

)+(

x22

4

+

y22

2

)+

x1x2+2y1y2

2

=2，
∴

x2

2

+y2=1，
∴点N在以F₁（-1，0），F₂（1，0）为焦点，以2

2

为长轴的椭圆上，
∴存在两个定点F₁（-1，0），F₂（1，0），
使|NF1|+|NF2|=2

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．