Question

定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0且2f（x）+xf′（x）＞0，有下列命题：
①f（x）在R上是增函数；           
②当x₁＞x₂时，x₁²f（x₁）＞x₂²f（x₂）
③当x₁＞x₂＞0时，

x12

f(x2)

＞

x22

f(x1)

④当x₁+x₂＞0时，x₁²f（x₁）+x₂²f（x₂）＞0
⑤当x₁＞x₂时，x₁²f（x₂）＞x₂²f（x₁）
则其中正确的命题是

 

（写出你认为正确的所有命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：

分析：利用函数的性质和构建函数来求解．

解答： 解：通过审题，特别是所要判断的项，我们可以得出
     当x∈（0，+∞），2f（x）+xf′（x）＞0
     等价于：2xf（x）+x²f′（x）＞0
    即可以看成是R（x）=x²f（x）的导函数
∴R（x）与f（x）一样，也为奇函数，且在x∈（0，+∞）时，R（x）为单调递增函数
通过奇函数的性质，可以发现R（x）在R上都为单调增函数
①通过分析，无法判定f（x）是增函数还是减函数
②根据前面的分析，我们可以通过增函数的性质判定②是正确的
③∵x₁和x₂都是大于0
∴f（x₁）和f（x₂）也都大于0
∴可以化简成x₁²f（x₁）＞x₂²f（x₂），明显成立
④x₁+x₂＞0等价于x₁＞-x₂
∴x₁²f（x₁）＞（-x₂）²f（-x₂）=-x₂²f（x₂）
∴x₁²f（x₁）+x₂²f（x₂）＞0
⑤通过分析，无法判定等式一定成立

点评：涉及到多个函数，我们一般可以通过构造一个函数来进行简化分析．对于无法判定的选项，只要找出一个反例就行．灵活运用奇偶函数的性质．