Question

已知函数f（x）=ln

ex

2

-f′（1）•x，g（x）=

3

2

x-f（x）-

2

x

．
（Ⅰ）求f′（1）的值和f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数h（x）=x²-mx+4，若存在x₁∈（0，1]，对于任意的x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，即可求f′（1）的值和f（x）的单调区间；
（Ⅱ）将不等式恒成立转化为求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=ln

ex

2

-f′（1）•x的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

1

x

-f′（1），
令x=1，则f′（1）=1-f′（1），
∴f′（1）=

1

2

，
则f（x）=ln

ex

2

-

1

2

•x，f′（x）=

1

x

-

1

2

=

2-x

2x

，
由f′（x）=

2-x

2x

＞0，解得0＜x＜2，此时函数单调递增，
由f′（x）=

2-x

2x

＜0，解得x＞2，此时函数单调递减，
故f（x）的单调增区间为（0，2），递减区间为（2，+∞）；
（Ⅱ）g（x）=

3

2

x-f（x）-

2

x

=2x-ln

ex

2

-

2

x

．
则g′（x）=2-

1

x

+

2

x2

=

2x2-x+2

x2

=

2(x- 1 4 )2+ 15 8

x2

＞0
则在（0，1]上函数单调递增，则g（x）的最小值为g（1）=ln2-1，
若存在x₁∈（0，1]，对于任意的x₂∈[1，2]，总有g（x₁）≥h（x₂）成立，
等价为g（x）在（0，1]上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值，
而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
则

g(1)=ln2-1≥h(1) g(1)=ln2-1≥h(2)

，
即

ln2-1≥5-m ln2-1≥8-2m

，
则

m≥6-ln2 m≥ 1 2 (9-ln2)

，
即m≥6-ln2，
则实数m的取值范围是[6-ln2，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性和导数之间的关系，以及利用导数求函数的最值．考查学生的运算能力．