Question

数列{a_n}满足a_n+1=2a_n²-1，a_N=1且a_N-1≠1，其中N∈{2，3，4，…}
（1）求证：|a₁|≤1；
（2）求证：a₁=cos

kπ

2N-2

（k∈Z）．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：利用数学归纳法的证明步骤，即可证明结论．

解答： 证明：（1）猜想：|a_N-k|≤1，1≤k＜N-1，k∈N^*，接下来用数学归纳法对k进行证明：
当k=1时，由a_n+1=2a_n²-1，a_N=1得aN-12=1，但a_N-1≠1，
∴a_N-1=-1，
∴|a_N-1|≤1成立--------------------------------------------（2分）
假设k=m（1≤m＜N-1，m∈N₊）时，|a_N-m|≤1，则aN-m-12=

aN-m+1

2

∈[0，1]
所以|a_N-m-1|≤1，所以k=m+1时结论也成立．
综上，有|a_N-k|≤1，1≤k＜N-1，k∈N₊，故有|a₁|≤1；----------------（5分）
（2）当N=2时，由a₂=1且a₁≠1得a₁=-1=cosπ成立，
假设N=m（m≥2）时，存在k∈Z，使得a₁=cos

kπ

2m-2

------------------（7分）
则当N=m+1时，由归纳假设，存在k，使得a₂=cos

kπ

2m-1

，
则a12=

a2+1

2

=

cos kπ 2m-1 +1

2

=cos²

kπ

2m-2

，
所以a₁=cos

kπ

2m-2

=cos

2kπ

2(m+1)-2

或a₁=-cos

kπ

2m-2

=cos

(2(m+1)-2-2k)π

2(m+1)-2

，
所以无论N取任何大于1的正整数，都存在k使得cos

kπ

2N-2

--（10分）

点评：本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．